Jeśli rozłoży się liczbę 36 na czynniki pierwsze, to można zauważyć, że iloczyn wieku trzech synów to jest tu 8 możliwości:
36 = 1*1*36 - suma wynosi 38
36 = 1*2*18 - suma wynosi 21
36 = 1*3*12 - suma wynosi 16
36 = 1*4*9 - suma wynosi 14
36 = 1*6*6 - suma wynosi 13
36 = 2*2*9 - suma wynosi 13
36 = 2*3*6 - suma wynosi 11
36 = 3*3*4 - suma wynosi 10.
Tylko w dwóch przypadkach te sumy są jednakowe. A ponieważ suma nie wystarczyła przyjacielowi do wskazania wieku synów, to musi to być jedna z tych dwu możliwości (w przeciwnym wypadku potrafiłby wskazać wiek bez dodatkowej informacji). Jeśli najstarszy syn ma zeza, to można wnioskować, że nie jest to sytuacja 1, 6, 6.
Synowie zatem mają 2, 2 i 9 lat.
środa, 29 września 2010
wtorek, 28 września 2010
Równanie wielomianowe z parametrem
Rozwiążę dzisiaj dla Was zadanie, w którym wykorzystamy wyrażenia algebraiczne. To zadanie nie jest trudne, i myślę że mogłoby spokojnie pojawić się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym.
Aby je rozwiązać, wykorzystamy rozwiązywanie równań, rozkładanie wielomianu na czynniki, wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego i wzory Viete'a. Zatem do pracy:
- równanie ma dokładnie dwa rozwiązania,
- żadne z rozwiązań nie jest równe zeru.
Zatem możemy zapisać następujące warunki:
Przeanalizujemy teraz, kiedy równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
Sprawdzimy, kiedy oba rozwiązania są różne od zera. Skorzystamy ze wzorów Viete'a.
Podsumowując, by badane równanie miało trzy różne pierwiastki parametr p musi należeć do przedziału:
Aby je rozwiązać, wykorzystamy rozwiązywanie równań, rozkładanie wielomianu na czynniki, wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego i wzory Viete'a. Zatem do pracy:
Znajdź te wartości parametru p, dla których równaniePowyższe równanie ma trzy rozwiązania tylko wtedy gdy:
ma trzy różne rozwiązania.
- równanie ma dokładnie dwa rozwiązania,
- żadne z rozwiązań nie jest równe zeru.
Zatem możemy zapisać następujące warunki:
Przeanalizujemy teraz, kiedy równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
Sprawdzimy, kiedy oba rozwiązania są różne od zera. Skorzystamy ze wzorów Viete'a.
Podsumowując, by badane równanie miało trzy różne pierwiastki parametr p musi należeć do przedziału:
sobota, 25 września 2010
Zagadka na weekend
Hej,
Właśnie zaczął się weekend, większość z was myśli pewnie o odpoczynku. A ja proponuję, żebyście zrobili masaż swoim szarym komórkom i spróbowali rozwiązać tę matematyczną zagadkę, którą znalazłam na Forum Mega Matma:
Powodzenia! Rozwiązanie wkrótce...
Właśnie zaczął się weekend, większość z was myśli pewnie o odpoczynku. A ja proponuję, żebyście zrobili masaż swoim szarym komórkom i spróbowali rozwiązać tę matematyczną zagadkę, którą znalazłam na Forum Mega Matma:
Po dość długiej rozłące spotkało się dwóch przyjaciół. Jeden z nich oznajmił, że ma trzech synów i iloczyn ich wieku wynosi 36, a suma jest równa liczbie okien w bloku przy którym się spotkali. Drugi powiedział, że ta informacja nie wystarcza mu do określenia ile mają lat jego dzieci. Pierwszy dodał, że najstarszy syn ma zeza.Próbując rozgryźć tę zagadkę stwierdziłam, że moje matematyczno-logiczne myślenie jest w kiepskiej formie. Cóż, muszę nad nim popracować...
Ile lat mają dzieci znajomego?
Powodzenia! Rozwiązanie wkrótce...
niedziela, 12 września 2010
Zadanie maturalne, prawdopodobieństwo
Na początek zadanie maturalne z matury próbnej z matematyki z 2008. Będzie to zadanie z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, w którym można zastosować drzewka i regułę mnożenia i dodawania. Myślę, że to dość ciekawy przykład na początek.
A o tym, jak działa reguła mnożenia i dodawania dowiecie się ze strony
http://www.megamatma.pl/uczniowie/szkola-srednia/teoria-prawdopodobienstwa-kombinatoryka-elementy-statystyki-opisowej/regula-mnozenia-i-regula-dodawania .
Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia liczymy z reguły mnożenia: mnożymy prawdopodobieństwa trzech zdarzeń elementarnych, czyli trzech wyrzuceń liczby nieparzystej
Zatem prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia liczby nieparzystej wynosi 1/8, czyli 12,5%.
Suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez trzy, tylko wtedy gdy każda lub żadna z nich nie jest podzielna przez trzy.
"Gałęzie" drzewka zaznaczone na czarno to te, które nas interesują. Zastosujemy najpierw regułę mnożenia, a później dodawania by obliczyć jakie jest prawdopodobieńśtwo danego zdarzenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 1/3.
A o tym, jak działa reguła mnożenia i dodawania dowiecie się ze strony
http://www.megamatma.pl/uczniowie/szkola-srednia/teoria-prawdopodobienstwa-kombinatoryka-elementy-statystyki-opisowej/regula-mnozenia-i-regula-dodawania .
Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:Doświadczenie losowe - trzykrotny rzut kostką sześcienną do gry.
A - na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek
B - suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3
A - na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek
Oznaczamy zdarzenia: NP - wypadnie liczba nieparzysta; P - wypadnie liczba parzystaPrawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia liczymy z reguły mnożenia: mnożymy prawdopodobieństwa trzech zdarzeń elementarnych, czyli trzech wyrzuceń liczby nieparzystej
Zatem prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia liczby nieparzystej wynosi 1/8, czyli 12,5%.
B - suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3
Oznaczamy zdarzenia: C - wypadnie liczba podzielna przez 3; C' - wypadnie liczba niepodzielna przez 3Suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez trzy, tylko wtedy gdy każda lub żadna z nich nie jest podzielna przez trzy.
"Gałęzie" drzewka zaznaczone na czarno to te, które nas interesują. Zastosujemy najpierw regułę mnożenia, a później dodawania by obliczyć jakie jest prawdopodobieńśtwo danego zdarzenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 1/3.
Subskrybuj:
Posty (Atom)