Statystyk złamał system loterii

Kupony loterii są produkowane masowo, co oznacza, że to komputer wpisuje do nich liczby. Oczywiście, byłoby świetnie gdyby komputer mógł po prostu wypluwać losowe liczby. Ale nie jest to możliwe, bo firma zarządzająca loterią musi dokładnie wiedzieć ile losów wygrywa. Gra nie może być całkowicie losowa. Zamiast tego musi sprawiać wrażenie losowości, będąc od początku zdeterminowana.

Czy pozorna losowość zdrapek to tylko fasada, matematyczne kłamstwo?
Foto: John Midgley

 Podejrzyj, jak wytypować szczęśliwy los  źródło: wired.com

Mohan Srivastava, geolog o specjalności metod statystycznych, mieszkający w Toronto, pracował w swoim biurze, czekając aż zakończy się pobieranie plików z Internetu, kiedy odkrył kilka starych kuponów loterii zakopanych pod papierami na swoim biurku. Kupony były tanimi zdrapkami - dostał je jako żart od partnera do squasha - i Srivastawa zaczął się zastanawiać, ile z nich było szczęśliwymi losami. Wyciągnął monetę z czeluści szuflady i zaczął zdrapywać lateksowe pokrycie.
Pierwszy los, zgodnie z przewidywaniami, był przegrany. Dokładnie dlatego Srivastava nigdy nie grał w te głupie gry.


Jako druga wpadła mu w ręce zdrapka kółko i krzyżyk. Jej założenia były bardzo proste. Po prawej stronie znajdowało się osiem plansz 3x3 wypełnionych różnymi liczbami. Po lewej umieszczono "Twoje liczby" -  trzy liczby zakryte lateksową zdrapką. Należało odkryć swoje liczby i porównać je z liczbami na planszach. Jeżeli  trzy z twoich liczb znalazły się na którejkolwiek z plansz w linii prostej, wygrywałeś. Srivastava zaznaczył liczby spod zdrapki na planszach i, ku swojemu zdziwieniu, wygrał! Jego wygrana była najniższa z możliwych, ale i tak poczuł się podekscytowany.

 Gry losowe 

Zadowolony, postanowił wybrać się w porze lunchu na stację benzynową, żeby odebrać swoją wygraną.   "Po drodze zacząłem przyglądać się grze i zastanawiać, jak powstają plansze."  Kupony loterii są produkowane masowo, co oznacza, że to komputer wpisuje do nich liczby. Oczywiście, byłoby świetnie gdyby komputer mógł po prostu wypluwać losowe liczby. Ale nie jest to możliwe, bo firma zarządzająca loterią musi dokładnie wiedzieć ile losów wygrywa. Gra nie może być całkowicie losowa. Zamiast tego musi sprawiać wrażenie losowości, będąc od początku zdeterminowana.

Ciekawy przypadek prawa Benforda

Czyli jakie liczby nas otaczają, jak nie podrabiać zeznań podatkowych i co by się stało gdyby ludzie mieli po 8 palców.

Gdy rzucamy kostką, każda z liczb może pojawić się z równym prawdopodobieństwem (zakładając, że nikt ich nie spreparował.)

Prawdopodobieństwo wylosowania określonej liczby oczek w jednym rzucie wynosi 1/6

Okazuje się, że pierwsze cyfry w rzeczywistych zbiorach statystycznych - n.p. w zbiorze kwot domowych rachunków z przeciągu roku - rządzą się zupełnie inną regułą.

W takich przypadkach istnieje znacznie większe prawdopodobieństwo, że pierwszą cyfrą liczby będzie jedynka. Prawdopodobieństwo jest tym mniejsze, im większa cyfra.
Takie zjawisko statystyczne nazwano prawem Benforda.

Im większa cyfra, tym rzadziej pojawia się na wiodącej pozycji

Rozkład Benforda sprawdza się dla danych, które przyjmują różne rzędy wielkości - na przykład w zbiorze potęg dwójki od 2^1 do 2^1000.

Na wykresie przedstawiono częstotliwość występowania pierwszych cyfr w liczbach od 2^1 do 2^1000

Ten artykuł to wolne tłumaczenie posta z bloga Wolfram|Alpha.