Statystyk złamał system loterii

Kupony loterii są produkowane masowo, co oznacza, że to komputer wpisuje do nich liczby. Oczywiście, byłoby świetnie gdyby komputer mógł po prostu wypluwać losowe liczby. Ale nie jest to możliwe, bo firma zarządzająca loterią musi dokładnie wiedzieć ile losów wygrywa. Gra nie może być całkowicie losowa. Zamiast tego musi sprawiać wrażenie losowości, będąc od początku zdeterminowana.

Czy pozorna losowość zdrapek to tylko fasada, matematyczne kłamstwo?
Foto: John Midgley

 Podejrzyj, jak wytypować szczęśliwy los  źródło: wired.com

Mohan Srivastava, geolog o specjalności metod statystycznych, mieszkający w Toronto, pracował w swoim biurze, czekając aż zakończy się pobieranie plików z Internetu, kiedy odkrył kilka starych kuponów loterii zakopanych pod papierami na swoim biurku. Kupony były tanimi zdrapkami - dostał je jako żart od partnera do squasha - i Srivastawa zaczął się zastanawiać, ile z nich było szczęśliwymi losami. Wyciągnął monetę z czeluści szuflady i zaczął zdrapywać lateksowe pokrycie.
Pierwszy los, zgodnie z przewidywaniami, był przegrany. Dokładnie dlatego Srivastava nigdy nie grał w te głupie gry.


Jako druga wpadła mu w ręce zdrapka kółko i krzyżyk. Jej założenia były bardzo proste. Po prawej stronie znajdowało się osiem plansz 3x3 wypełnionych różnymi liczbami. Po lewej umieszczono "Twoje liczby" -  trzy liczby zakryte lateksową zdrapką. Należało odkryć swoje liczby i porównać je z liczbami na planszach. Jeżeli  trzy z twoich liczb znalazły się na którejkolwiek z plansz w linii prostej, wygrywałeś. Srivastava zaznaczył liczby spod zdrapki na planszach i, ku swojemu zdziwieniu, wygrał! Jego wygrana była najniższa z możliwych, ale i tak poczuł się podekscytowany.

 Gry losowe 

Zadowolony, postanowił wybrać się w porze lunchu na stację benzynową, żeby odebrać swoją wygraną.   "Po drodze zacząłem przyglądać się grze i zastanawiać, jak powstają plansze."  Kupony loterii są produkowane masowo, co oznacza, że to komputer wpisuje do nich liczby. Oczywiście, byłoby świetnie gdyby komputer mógł po prostu wypluwać losowe liczby. Ale nie jest to możliwe, bo firma zarządzająca loterią musi dokładnie wiedzieć ile losów wygrywa. Gra nie może być całkowicie losowa. Zamiast tego musi sprawiać wrażenie losowości, będąc od początku zdeterminowana.

Jako wykwalifikowanego statystyka z dyplomami MIT i Uniwersytetu Stanforda, zaintrygował go techniczny aspekt generowania kuponów. Właściwie ten problem przypominał mu jego obecną pracę, polegającą na konsultacjach dla firm wydobywających ropę naftową i inne surowce. Typowe zadanie dla Srivastavy wygląda następująco: firma zajmująca się wydobyciem surowców pobrała próbki z potencjalnej kopalni złota. Każda z próbek ma inną zawartość minerału pod ziemią. Moim zadaniem jest wydedukowanie z tych wyników, z jakim złożem mamy do czynienia. Pozornie wartości zawartości kruszca w próbkach mogą wydawać się losowe, jak gdyby złoto było rozsypane po całym obszarze, ale wcale tak nie jest. To siły przyrody stworzyły te liczby. Jeżeli znasz geologiczną strukturę ziemi, jesteś w stanie rozszyfrować ich znaczenie i ocenić, ile złota można znaleźć pod ziemią.

Srivastava zauważył, że ten sam tok rozumowania można by zastosować do loterii. Pozorna losowość kuponów była tylko pozorem, matematycznym kłamstwem. Oznaczało to że system loterii mógłby zostać złamany.  "Na początku nie interesowało mnie złamanie loterii - mówi Srivastava - byłem tylko ciekawy algorytmu, który generował kupony."  W drodze ze stacji benzynowej, pijąc kawę kupioną za wygraną, analizował w myślach ten problem. Zanim dotarł do biura, był prawie pewny jak mógłby działać program, który dokładnie kontrolowałby liczbę wygranych, sprawiając przy tym wrażenie losowości. "To nie było trudne - twierdzi Srivastava - rozwiązuję podobne problemy osiem godzin dziennie."

Tego popołudnia, po powrocie do pracy Srivastava zapomniał, jak zaintrygował go problem loterii. Ale kiedy przechodził obok stacji benzynowej później tego wieczora, wydarzyło się coś dziwnego. "Przysięgam, że nie jestem typem osoby, która słyszy głosy, - twierdzi - ale tej nocy gdy mijałem stację benzynową, usłyszałem cieniutki głosik z tyłu głowy: "Jeśli losy wygenerowano tym algorytmem, gra jest znaczona. Złamiesz kod. Rozbijesz loterię!" "

 Zacne początki 

System loterii w Ameryce Północnej jest wart 70 miliardów dolarów rocznie, to więcej niż wpływy ze sprzedaży biletów do kina, przemysł muzyczny i pornograficzny razem wzięte. Loterie mają szlachetną tradycję: angielska loteria autoryzowana przez króla Jakuba I w roku 1612 przyznawała Kolonii Wirgińskiej prawo do zbierania funduszy na założenie pierwszej stałej kolonii angielskiej w Jamestown, stan Virginia. W kolonialnej Ameryce loterie odegrały ważną rolę w finansowaniu przedsiębiorstw prywatnych i publicznych, finansowaniu dróg, bibliotek, kościołów, szkół wyższych, kanałów, mostów, dróg kolejowych itd.   W osiemnastym wieku za pomocą loterii sfinansowano założenie uniwersytetów Princeton, Columbia, podobnie jak Uniwersytetu Pensylwania. 

Od roku 1964, gdy New Hampshire wprowadziło pierwszą nowoczesną loterię stanową, rządy zaczęły odnosić korzyści z gier losowych w formie podatku. Aktualnie czterdzieści trzy stany USA i każda kanadyjska prowincja prowadzą loterie. W niektórych stanach zyski z loterii tworzą prawie 5% źródeł finansowania szkolnictwa.

wiecej

Podczas, gdy około połowa amerykanów choć raz kupiła bilet loterii, większość losów jest wykupywana przez 20% społeczeństwa.  Regularni gracze najczęściej mają niewielkie dochody i niskie wykształcenie, dlatego gry losowe są krytykowane jako rodzaj podatku regresywnego. W badaniach z roku 2006, 30% osób bez wyższego wykształcenia wyraziło opinię, że granie w gry losowe jest sposobem na wzbogacenie się. Średnio gospodarstwa domowe mające mniej niż 12 400 dolarów dochodu przeznaczają 5% środków na loterię - źródło nadziei na dodatkowe kilka dolarów.

Los loterii finansującej założenie Queen's College w Nowym Brunszwiku, rok 1814.
Żródło: Wikipedia

 Wygrałeś... prawie 

Swojego czasu zdrapki bardzo słabo się sprzedawały. Ale przez ostatnie dwadzieścia lat walka o graczy nabrała tempa. W wyniku tych zmian wiele loterii stanowych przekomponowało kupony. Jedna z najważniejszych technik przywodzi na myśl przynętę z ukrytymi haczykami. Plansza zaprojektowana jak miniaturowy arkusz kalkulacyjny. Zamiast zdrapywać lateksowe pokrycie i natychmiast zobaczyć przegraną, gracz musi porównać odkryte liczby z liczbami na karcie.  Kupony są zaprojektowane tak, by gracze otarli się o zwycięstwo. Przez kilka sekund w napięciu szukają wygranej, by na koniec odkryć że zamiast trzech trafień w rzędzie mają tylko dwa. Nic dziwnego, że łapią się na haczyk. 

Przeczucie matematyka okazało się trafne. Gra miała defekt. Odkrycie go zajęło mu kilka godzin analizowania kuponów i statystycznego śledztwa. Widoczne liczby skrywały dokładną informację, na temat liczb pod zdrapką. Nie trzeba było niczego zdrapywać - wynik można było poznać używając tajnego kodu.

 Dziecinnie proste 

Sztuczka sama w sobie jest śmiesznie prosta. Srivastava nauczył jej nawet swoją ośmioletnią córkę. Każdy z kuponów zawierał trzy plansze do gry w kółko i krzyżyk, a w każde pole na planszy - w sumie było ich 72 - wpisano liczbę od 1 do 39. W ten sposób niektóre z liczb powtarzały się po kilka razy. Na przykład liczba 17 mogła powtarzać się trzy razy, podczas gdy liczba 38 tylko dwa. Zawsze kilka liczb występowało tylko raz.  Zaskakującym odkryciem Srivastavy był fakt, że można było oddzielić wygrywające losy od przegrywających sprawdzajac, jak często konkretne liczby pojawiały się na planszach.

Innymi słowy, nie patrzył na kupon jako ciąg 72 losowych liczb. Zamiast tego uporządkował liczby względem częstotliwości ich występowania. "Liczby same w sobie nie mogłyby być bardziej pozbawione znaczenia, - stwierdził - musiałem tylko wiedzieć, czy się powtarzają."  Srivastava szukał liczb, które pojawiały się tylko raz. Zauważył, że prawie zawsze pojawiały się pod zdrapką.  Jeżeli trzy pojedyncze liczby znajdowały się w jednej linii, los prawdopodobnie wygrywał.

Następnego dnia, w drodze do pracy, dokupił więcej kuponów, by sprawdzić swoją tezę. Oczywiście wybrał tylko te, które zawierały odpowiednią kombinację liczb. Kolejnego dnia kupił jeszcze więcej losów. Również okazały się znaczone. Po przeanalizowaniu wyników, Srivastava zdał sobie sprawę, że jego sztuczka działała w 90% przypadków, pozwalając mu wybrać wygrywające losy, zanim poznał liczby spod zdrapki.

Jego kolejna myśl była zupełnie przewidywalna. "Pamiętam, że pomyślałem: Będę bogaty! Rozbiję loterię!" Ale szybko zwrócił swoje myśli ku bardziej praktycznym kwestiom. "Kiedy już oszacowałem ile zarabiałbym rozgryzając loterie na pełny etat, straciłem zapał." - stwierdził Srivastava. "Musiałbym jeździć od sklepu do sklepu i poświęcić ok. 45 sekund na złamanie każdego losu. Mógłbym zarobić ok. 600 dolarów dziennie. To niezły wynik. Ale, prawdę mówiąc, zarabiam więcej jako konsultant. Moja obecna praca wydaje mi się o wiele ciekawsza niż zdrapywanie zdrapek.

Zamiast łupić grę, wybrał się do firmy odpowiedzialnej za loterię. Srivastava myślał, że jej szefowie będą zainteresowani jego odkryciem. Kto wie, może nawet zatrudniliby go jako jako konsultanta statystycznego. "Ludziom wydaje się, że muszę być bardzo porządnym człowiekiem, bo nie wykorzystałem tej okazji. Mogę was zapewnić, że nie o to chodzi. Oceniłem zyski i uznałem, że gra nie jest warta mojego czasu."

Matematyk wielokrotnie zwracał się do zarządu firmy, jednak bezskutecznie. Dopiero gdy, Loteria Ontario otrzymała paczkę z nienaruszonymi kuponami, prawidłowo podzielonymi na wygrywające i przegrywające, wycofała kupony ze sprzedaży.

Według oficjalnego oświadczenia, grę wycofano z powodu wady drukarskiej. Według specjalisty PR z Loterii Ontario, drukarz gry dostarczył pisemne oświadczenie, że inne gry nie są obarczone tą wadą. Loteria Ontario kontynuuje sprzedaż loterii z ukrytym haczykiem.

 Wytypuj zwycięzcę 

1 Rozejrzyj się po karcie. Będziesz szukać liczb, które powtarzają się tylko raz.	2 Na planszy zaznacz, ile powtarza się każda liczba. Na przykład liczba 23 powtarza się dwa razy - napisz przy niej dwójkę.
3 Wszystkie pojedyncze liczby będą zaznaczone jedynką. Jeżeli jedynki pojawią się w jednej linii, istnieje bardzo duża szansa, że wygrałeś.	4 Odsłoń ukryte liczby. Wygrałeś!