Dowcipy o matematykach

Inżynier, fizyk i matematyk wynajęli pokoje w hotelu.

Inżynier budzi się, i czuje dym. Wychodzi z pokoju na korytarz i widzi pożar. A więc biegnie do pokoju, napełnia kosz na śmieci wodą, gasi płomienie i wraca do pokoju.

Jakiś czas później fizyka budzi zapach dymu. Otwiera drzwi i widzi pożar w korytarzu. Idąc po gaśnicę, oblicza szybkość rozprzestrzeniania się płomieni, ciśnienie pianki gaśniczej, trajektorię i tak dalej, po czym gasi płomienie przy minimalnym nakładzie energii i środków.

Na końcu dym budzi się matematyka. Wychodzi na korytarz, widzi pożar i gaśnicę, myśli chwilę i mówi do siebie "A więc rozwiązanie istnieje!" i wraca do łóżka.

Biolog, fizyk i matematyk siedzą w kawiarnianym ogródku na ulicy i przyglądają się przechodniom. Po drugiej stronie ulicy widzą mężczyznę i kobietę wchodzących do budynku. Dziesięć minut po tym, jak zniknęli, wychodzą z trzecią osobą.

- Rozmnożyli się  - zauważył biolog.

- Nie, to błąd w pomiarach - westchnął fizyk.

- Jeżeli dokładnie jedna osoba wejdzie teraz do budynku, znów będzie pusty - podsumował matematyk.

źródło: American Mathematical Society

Rozwiązanie zagadki

Jeśli rozłoży się liczbę 36 na czynniki pierwsze, to można zauważyć, że iloczyn wieku trzech synów to jest tu 8 możliwości:
36 = 1*1*36 - suma wynosi 38
36 = 1*2*18 - suma wynosi 21
36 = 1*3*12 - suma wynosi 16
36 = 1*4*9 - suma wynosi 14
36 = 1*6*6 - suma wynosi 13
36 = 2*2*9 - suma wynosi 13
36 = 2*3*6 - suma wynosi 11
36 = 3*3*4 - suma wynosi 10.

Tylko w dwóch przypadkach te sumy są jednakowe. A ponieważ suma nie wystarczyła przyjacielowi do wskazania wieku synów, to musi to być jedna z tych dwu możliwości (w przeciwnym wypadku potrafiłby wskazać wiek bez dodatkowej informacji). Jeśli najstarszy syn ma zeza, to można wnioskować, że nie jest to sytuacja 1, 6, 6.
Synowie zatem mają 2, 2 i 9 lat.

Równanie wielomianowe z parametrem

Rozwiążę dzisiaj dla Was zadanie, w którym wykorzystamy wyrażenia algebraiczne. To zadanie nie jest trudne, i myślę że mogłoby spokojnie pojawić się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym.
Aby je rozwiązać, wykorzystamy rozwiązywanie równań, rozkładanie wielomianu na czynniki, wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego i wzory Viete'a. Zatem do pracy:

Znajdź te wartości parametru p, dla których równanie
ma trzy różne rozwiązania.

 Powyższe równanie ma trzy rozwiązania tylko wtedy gdy:
- równanie ma dokładnie dwa rozwiązania,
- żadne z rozwiązań nie jest równe zeru.

Zatem możemy zapisać następujące warunki:

Przeanalizujemy teraz, kiedy równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania

Sprawdzimy, kiedy oba rozwiązania są różne od zera. Skorzystamy ze wzorów Viete'a.

Podsumowując, by badane równanie miało trzy różne pierwiastki parametr p musi należeć do przedziału:

Zagadka na weekend

Hej,
Właśnie zaczął się weekend, większość z was myśli pewnie o odpoczynku. A ja proponuję, żebyście zrobili masaż swoim szarym komórkom i spróbowali rozwiązać tę matematyczną zagadkę, którą znalazłam na Forum Mega Matma:

Po dość długiej rozłące spotkało się dwóch przyjaciół. Jeden z nich oznajmił, że ma trzech synów i iloczyn ich wieku wynosi 36, a suma jest równa liczbie okien w bloku przy którym się spotkali. Drugi powiedział, że ta informacja nie wystarcza mu do określenia ile mają lat jego dzieci. Pierwszy dodał, że najstarszy syn ma zeza.

Ile lat mają dzieci znajomego?

Próbując rozgryźć tę zagadkę stwierdziłam, że moje matematyczno-logiczne myślenie jest w kiepskiej formie. Cóż, muszę nad nim popracować...
Powodzenia! Rozwiązanie wkrótce...

Zadanie maturalne, prawdopodobieństwo

 Na początek zadanie maturalne z matury próbnej z matematyki z  2008. Będzie to zadanie z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, w którym można zastosować drzewka i regułę mnożenia i dodawania. Myślę, że to dość ciekawy przykład na początek.
A o tym, jak działa reguła mnożenia i dodawania dowiecie się ze strony
http://www.megamatma.pl/uczniowie/szkola-srednia/teoria-prawdopodobienstwa-kombinatoryka-elementy-statystyki-opisowej/regula-mnozenia-i-regula-dodawania .

Rzucamy trzykrotnie symetryczną  kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:
A -  na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek
B - suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3

Doświadczenie losowe - trzykrotny rzut kostką sześcienną do gry.

A -  na każdej kostce wypadnie nieparzysta liczba oczek

Oznaczamy zdarzenia: NP - wypadnie liczba nieparzysta; P - wypadnie liczba parzysta

Prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia liczymy z reguły mnożenia: mnożymy prawdopodobieństwa trzech zdarzeń elementarnych, czyli trzech wyrzuceń liczby nieparzystej

Zatem prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia liczby nieparzystej wynosi 1/8, czyli 12,5%.

B - suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3

Oznaczamy zdarzenia: C - wypadnie liczba podzielna przez 3; C' - wypadnie liczba niepodzielna przez 3
Suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez trzy, tylko wtedy gdy każda lub żadna z nich nie jest podzielna przez trzy.

"Gałęzie" drzewka zaznaczone na czarno to te, które nas interesują. Zastosujemy najpierw regułę mnożenia, a później dodawania by obliczyć jakie jest prawdopodobieńśtwo danego zdarzenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi 1/3.